Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) - 1}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) - 1}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sec (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\tan^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\tan^{2} (0)}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) - 1}{\tan^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sec (x) - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $\sec (x) \tan (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Passaggio 1.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 1.3.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 1.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 1.3.7

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}$

Passaggio 1.3.8

Riordina i fattori di $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Passaggio 1.4

Riduci.

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune di $\sec (x)$ e $\sec^{2} (x)$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) (\tan (x))}{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Passaggio 1.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Scomponi $\sec (x)$ da $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) (\tan (x))}{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{2 \sec (x) \tan (x)}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $\tan (x)$ .

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Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{2 \sec (x) \tan (x)}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sec (x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec (x)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sec (0)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\sec (0)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$\frac{1}{2} (1 \cos (0))$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\cos (0)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cos (0)$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$