Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x - \frac{π}{2}}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Passaggio 1.2

$x$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Passaggio 1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Passaggio 2

Semplifica l'argomento del limite.

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Passaggio 2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \ln (\sin (x)) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Passaggio 2.2

$\ln (\sin (x))$ e $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Passaggio 3

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Passaggio 4

Calcola i limiti inserendo il valore al posto della variabile.

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $\frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\ln (\sin (0)) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 - π}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $π$ da $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Passaggio 4.3.3

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Passaggio 4.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- 1 (1) π}$

Passaggio 4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$

Passaggio 4.6

Poiché $- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$ è indefinito, il limite non esiste.

$Non esiste$

Passaggio 5

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Passaggio 6

Risolvi il limite destro.

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Passaggio 6.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x)) \cdot 2}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Passaggio 6.2

Poiché la funzione $\ln (\sin (x))$ tende a $- \infty$ , anche la costante positiva $2$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

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Passaggio 6.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $2$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Passaggio 6.2.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (\sin (x))$ diminuisce senza limite.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Passaggio 6.3

Calcola il limite.

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Passaggio 6.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Passaggio 6.3.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Passaggio 6.3.3

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - π}$

Passaggio 6.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- \infty}{2 \cdot 0 - π}$

Passaggio 6.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.5.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{- \infty}{0 - π}$

Passaggio 6.5.1.2

Sottrai $π$ da $0$ .

$\frac{- \infty}{- π}$

Passaggio 6.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{- \infty}{π}$

Passaggio 6.5.3

Infinito diviso per qualsiasi cosa finita e diversa da zero è uguale a infinito.

$- - \infty$

Passaggio 6.5.4

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\infty$

Passaggio 7

Se uno dei due limiti unilateri non esiste, il limite non esiste.

$Non esiste$