Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (4 x))}{3 x^{2}}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (4 x))}{x^{2}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (4 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (4 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} 4 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (\cos (4 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (\cos (4 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (4 x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (4 x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (4 x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (4 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (4 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.3.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (4 x)} \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (4 x)} \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.4

$\frac{1}{\cos (4 x)}$ e $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 4 \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.7

$- 4$ e $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{2 x}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{1}{2 x}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{1}{2 x}$ per $\frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{4 \sin (4 x)}{2 x \cos (4 x)}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Scomponi $2$ da $4 \sin (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cdot 2 \sin (4 x)}{2 x \cos (4 x)}$

Passaggio 2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cdot 2 \sin (4 x)}{2 x \cos (4 x)}$

Passaggio 2.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \sin (4 x)}{x \cos (4 x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x)}{x \cos (4 x)}$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x \cos (4 x)}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Passaggio 4.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Passaggio 4.1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Passaggio 4.1.3.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 4.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0 \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 4.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0 \cdot \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 4.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Passaggio 4.1.3.5.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.5.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.5.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x \cos (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Passaggio 4.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Passaggio 4.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Passaggio 4.3.6

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Passaggio 4.3.7

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (4 x)] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.8.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.10

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) \cdot 1 + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.12

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) + \cos (4 x) \cdot 1}$

Passaggio 4.3.14

Moltiplica $\cos (4 x)$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Passaggio 4.3.15

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{- 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{- 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Passaggio 5.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Passaggio 5.4

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Passaggio 5.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 4 x \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Passaggio 5.6

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Passaggio 5.7

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Passaggio 5.8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Passaggio 5.9

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Passaggio 5.10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Passaggio 5.11

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 6.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 6.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.3.2

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3} \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.5

Moltiplica $- \frac{2}{3} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 (\frac{2}{3}) \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.5.2

$- 4$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{3} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.5.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{- 8}{3} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.7.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.8.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.8.4

Moltiplica $0$ per $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.8.5

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos (0)}$

Passaggio 7.8.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Passaggio 7.8.7

Somma $0$ e $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 7.9

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 7.9.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{8}{3} \cdot 1$

Passaggio 7.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{8}{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{8}{3}$

Forma decimale:

$- 2.\overline{6}$