Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (π \cos (x))}{x \sin (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} π \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (π lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (π \cos (0))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{\sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (π \cos (x))}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (π \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (π \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π \cos (x)$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) (π \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) π (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Riordina i fattori di $\cos (π \cos (x)) π (- \sin (x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 2

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$π \frac{lim_{x \to 0} - \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} π \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.4

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$π \frac{- \cos (π lim_{x \to 0} \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$π \frac{- \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$π \frac{- \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.7

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \frac{- \cos (π \cos (0)) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \frac{- \cos (π \cos (0)) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$π \frac{- \cos (π \cdot 1) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.8.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π \frac{- \cos (π) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.8.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$π \frac{- - 1 \cos (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.8.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$π \frac{- - 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.8.5

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$π \frac{- - 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.8.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$π \frac{1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.8.6

Moltiplica $\sin (0)$ per $1$ .

$π \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.8.7

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.6.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$π \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.6.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$π \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.6.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$π \frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 3.1.3.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$π \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.6.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$π \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$π \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$π \frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$π lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (π \cos (x)) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x)) \sin (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (π \cos (x))$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x))])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x))])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.5.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.6

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π \cos (x)$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) π \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.7

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) π \cdot - 1 \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 \sin (π \cos (x)) π \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $\sin (π \cos (x))$ per $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (π \cos (x)) π \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.11

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.13

Somma $1$ e $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \cos (x) - \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x)) π}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.14.2

Riordina i termini.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.15

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \cos (x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.16

Calcola $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.16.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.16.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.16.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.16.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.17

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

Passaggio 3.3.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.18.1

Somma $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 3.3.18.2

Riordina i termini.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$π \frac{lim_{x \to 0} - \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.6

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π lim_{x \to 0} \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.8

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.9

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.10

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.11

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.12

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.13

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.14

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.15

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.16

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.17

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.18

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

Passaggio 4.19

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.7

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot 1 \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π \cdot 1) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$π \frac{- 1 \cdot (- \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot (- 1 \cdot 1) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.7

Moltiplica $- 1 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 6.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot - 1 - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.7.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$π \frac{1 - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.8

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$π \frac{1 - π \cdot 0^{2} \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$π \frac{1 - π \cdot 0 \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.10

Moltiplica $- π \cdot 0$ .

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Passaggio 6.1.10.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$π \frac{1 + 0 π \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.10.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.11

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π \cdot 1)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.12

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.13

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.14

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot 0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.15

Moltiplica $0$ per $0$ .

$π \frac{1 + 0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.16

Somma $1$ e $0$ .

$π \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$π \frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$π \frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$π \frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$π \frac{1}{0 + 2}$

Passaggio 6.2.5

Somma $0$ e $2$ .

$π \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{2}$

Forma decimale:

$1.57079632 \dots$