Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} (\frac{\tan (2 x)}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{\sin (x)}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x^{3}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{x}$ per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x \cdot x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 1.2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1} x^{2}}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1 + 2}}$

Passaggio 1.2.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 3

Dato che il numeratore è una costante e il denominatore tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ , la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a infinito.

$\infty + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}}$ e $lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}} = \infty$ , applica il teorema del confronto.

$\infty + \infty$

Passaggio 5

Infinito più infinito è uguale a infinito.

$\infty$