Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{a^{m x} - 1}{a^{n x} - 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} a^{m x} - 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} a^{m x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{a^{lim_{x \to 0} m x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il termine $m$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{a^{m lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{a^{m lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{a^{m \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Moltiplica $m$ per $0$ .

$\frac{a^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} a^{n x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{0}{a^{lim_{x \to 0} n x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il termine $n$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{a^{n lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{a^{n lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{a^{n \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $n$ per $0$ .

$\frac{0}{a^{0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{a^{m x} - 1}{a^{n x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [a^{m x} - 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [a^{m x} - 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{m x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a^{m x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [a^{m x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [a^{m x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola di potenza generalizzata, secondo la quale $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = a$ e $g = m x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [a] (m x a^{m x - 1}) + \frac{d}{d x} [m x] (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.2

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 (m x a^{m x - 1}) + \frac{d}{d x} [m x] (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.3

Poiché $m$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $m x$ rispetto a $x$ è $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 (m x a^{m x - 1}) + m \frac{d}{d x} [x] (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 (m x a^{m x - 1}) + m \cdot 1 (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.5

Moltiplica $m$ per $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 (x a^{m x - 1}) + m \cdot 1 (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.6

Moltiplica $x$ per $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 a^{m x - 1} + m \cdot 1 (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.7

Moltiplica $0$ per $a^{m x - 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + m \cdot 1 (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.8

Moltiplica $m$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + m (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.9

Somma $0$ e $m (a^{m x} \ln (a))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m (a^{m x} \ln (a)) + 0}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Somma $m (a^{m x} \ln (a))$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m (a^{m x} \ln (a))}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.5.2

Riordina i fattori di $m (a^{m x} \ln (a))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{a^{m x} m \ln (a)}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.5.3

Riordina i fattori in $a^{m x} m \ln (a)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{n x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a^{n x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{\frac{d}{d x} [a^{n x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [a^{n x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Differenzia usando la regola di potenza generalizzata, secondo la quale $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = a$ e $g = n x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{\frac{d}{d x} [a] (n x a^{n x - 1}) + \frac{d}{d x} [n x] (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7.2

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 (n x a^{n x - 1}) + \frac{d}{d x} [n x] (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7.3

Poiché $n$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $n x$ rispetto a $x$ è $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 (n x a^{n x - 1}) + n \frac{d}{d x} [x] (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 (n x a^{n x - 1}) + n \cdot 1 (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7.5

Moltiplica $n$ per $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 (x a^{n x - 1}) + n \cdot 1 (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7.6

Moltiplica $x$ per $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 a^{n x - 1} + n \cdot 1 (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7.7

Moltiplica $0$ per $a^{n x - 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 + n \cdot 1 (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7.8

Moltiplica $n$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 + n (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7.9

Somma $0$ e $n (a^{n x} \ln (a))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{n (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{n (a^{n x} \ln (a)) + 0}$

Passaggio 1.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Somma $n (a^{n x} \ln (a))$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{n (a^{n x} \ln (a))}$

Passaggio 1.3.9.2

Riordina i fattori di $n (a^{n x} \ln (a))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{a^{n x} n \ln (a)}$

Passaggio 1.3.9.3

Riordina i fattori in $a^{n x} n \ln (a)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{n a^{n x} \ln (a)}$

Passaggio 1.4

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune di $a^{m x}$ e $a^{n x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $a^{n x}$ da $m a^{m x} \ln (a)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{a^{n x} (m a^{m x - n x} \ln (a))}{n a^{n x} \ln (a)}$

Passaggio 1.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Scomponi $a^{n x}$ da $n a^{n x} \ln (a)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{a^{n x} (m a^{m x - n x} \ln (a))}{a^{n x} (n \ln (a))}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{a^{n x} (m a^{m x - n x} \ln (a))}{a^{n x} (n \ln (a))}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x - n x} \ln (a)}{n \ln (a)}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $\ln (a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x - n x} \ln (a)}{n \ln (a)}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x - n x}}{n}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{m}{n}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} a^{m x - n x}$

Passaggio 2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{m}{n} a^{lim_{x \to 0} m x - n x}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{m}{n} a^{lim_{x \to 0} m x - lim_{x \to 0} n x}$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $m$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{m}{n} a^{m lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} n x}$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $n$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{m}{n} a^{m lim_{x \to 0} x - n lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{m}{n} a^{m \cdot 0 - n lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{m}{n} a^{m \cdot 0 - n \cdot 0}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $m$ per $0$ .

$\frac{m}{n} a^{0 - n \cdot 0}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- n \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{m}{n} a^{0 + 0 n}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $0$ per $n$ .

$\frac{m}{n} a^{0 + 0}$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{m}{n} a^{0}$

Passaggio 4.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{m}{n} \cdot 1$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\frac{m}{n}$ per $1$ .

$\frac{m}{n}$