Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{17 x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Passaggio 1

Sposta il termine $17$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$17 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$17 \frac{0}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$17 \frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta l'esponente $3$ da ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.3.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.3.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.3.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.3.7

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.3.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.3.8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.3.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.3.8.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.3.8.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 0 + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.3.8.2

Somma $0$ e $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.3.8.3

Somma $0$ e $1$ .

$17 \frac{0}{\ln (1^{3})}$

Passaggio 2.1.3.8.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$17 \frac{0}{\ln (1)}$

Passaggio 2.1.3.8.5

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$17 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.8.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$17 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.9

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$17 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$17 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$17 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Passaggio 2.3.3.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Passaggio 2.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Passaggio 2.3.5

$3$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Passaggio 2.3.6

${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ e $\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Passaggio 2.3.7

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3 \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Passaggio 2.3.8

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ e ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

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Passaggio 2.3.8.1

Scomponi ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ da $3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Passaggio 2.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.8.2.1

Scomponi ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ da ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Passaggio 2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Passaggio 2.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Passaggio 2.3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Passaggio 2.3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Passaggio 2.3.11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Passaggio 2.3.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])}$

Passaggio 2.3.14

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)}$

Passaggio 2.3.15

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)}$

Passaggio 2.3.16

Semplifica.

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Passaggio 2.3.16.1

Riordina i fattori di $\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1}}$

Passaggio 2.3.16.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.3.16.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}}$

Passaggio 2.3.16.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 2.3.16.2.3

Riscrivi il polinomio.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}}$

Passaggio 2.3.16.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Passaggio 2.3.16.3

Moltiplica $2 x - 2$ per $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 x - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Passaggio 2.3.16.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.16.4.1

Scomponi $2$ da $2 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.16.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Passaggio 2.3.16.4.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Passaggio 2.3.16.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{2 (x - 1) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Passaggio 2.3.16.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}}$

Passaggio 2.3.16.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ e ${(x - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 2.3.16.5.1

Scomponi $x - 1$ da $6 (x - 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{{(x - 1)}^{2}}}$

Passaggio 2.3.16.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.16.5.2.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x - 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

Passaggio 2.3.16.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

Passaggio 2.3.16.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6}{x - 1}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$17 lim_{x \to 0} 1 \frac{x - 1}{6}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{x - 1}{6}$ per $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{6}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il termine $\frac{1}{6}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) lim_{x \to 0} x - 1$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$17$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1)$

Passaggio 5.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{17}{6} \cdot - 1$

Passaggio 5.4

Moltiplica $\frac{17}{6} \cdot - 1$ .

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Passaggio 5.4.1

$\frac{17}{6}$ e $- 1$ .

$\frac{17 \cdot - 1}{6}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $17$ per $- 1$ .

$\frac{- 17}{6}$

Passaggio 5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{17}{6}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{17}{6}$

Forma decimale:

$- 2.8\overline{3}$