Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Passaggio 1

Calcola il limite di $\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Passaggio 2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1^{3}}{h}$

Passaggio 2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 1 + h$ e $b = 1$ .

$\frac{(1 + h - 1) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

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Passaggio 2.1.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{(h + 0) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3.2

Somma $h$ e $0$ .

$\frac{h ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3.3

Riscrivi ${(1 + h)}^{2}$ come $(1 + h) (1 + h)$ .

$\frac{h ((1 + h) (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3.4

Espandi $(1 + h) (1 + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{h (1 (1 + h) + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.3.5.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{h (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3.5.1.2

Moltiplica $h$ per $1$ .

$\frac{h (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3.5.1.3

Moltiplica $h$ per $1$ .

$\frac{h (1 + h + h + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3.5.1.4

Moltiplica $h$ per $h$ .

$\frac{h (1 + h + h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3.5.2

Somma $h$ e $h$ .

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica $1 + h$ per $1$ .

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1^{2})}{h}$

Passaggio 2.1.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1)}{h}$

Passaggio 2.1.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{h (2 h + h^{2} + 2 + h + 1)}{h}$

Passaggio 2.1.3.9

Somma $2 h$ e $h$ .

$\frac{h (3 h + h^{2} + 2 + 1)}{h}$

Passaggio 2.1.3.10

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{h (3 h + h^{2} + 3)}{h}$

Passaggio 2.1.3.11

Riordina i termini.

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

Passaggio 2.2.2

Dividi $h^{2} + 3 h + 3$ per $1$ .

$h^{2} + 3 h + 3$