Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} - x) - \cos (\frac{π}{2})}{x}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1

Per scrivere $- x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} - x \cdot \frac{2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{x}$

Passaggio 1.2

$- x$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{x}$

Passaggio 1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π - x \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{x}$

Passaggio 2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π - 2 x}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{x}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (\frac{π - 2 x}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (\frac{π - 2 x}{2}) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} \frac{π - 2 x}{2}) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{x \to 0} π - 2 x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} π - lim_{x \to 0} 2 x)) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π - lim_{x \to 0} 2 x)) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.1.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π - (2 lim_{x \to 0} x))) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.1.7

Calcola il limite di $\cos (\frac{π}{2})$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} x)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π - 1 \cdot 2 \cdot 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.3.1.1

Moltiplica $- 1 \cdot 2 \cdot 0$ .

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Passaggio 3.1.2.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π - 2 \cdot 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.3.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.3.1.2

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} π) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $π$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.3.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.3.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π - 2 x}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π - 2 x}{2}) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π - 2 x}{2}) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π - 2 x}{2}) - 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (\frac{π - 2 x}{2}) - 0$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π - 2 x}{2})] + \frac{d}{d x} [- 0]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π - 2 x}{2})] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π - 2 x}{2})]$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{π - 2 x}{2}$ .

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Passaggio 3.3.4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{π - 2 x}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π - 2 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π - 2 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{π - 2 x}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π - 2 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π - 2 x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [π - 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [π - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $π - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.4

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.8

Sottrai $2$ da $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.9

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \frac{- 2}{2} + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.10

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 3.3.4.10.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \frac{2 \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.10.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.4.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \frac{- 1}{1} + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.10.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 \sin (\frac{π - 2 x}{2}) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.12

Moltiplica $\sin (\frac{π - 2 x}{2})$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π - 2 x}{2}) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0]$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π - 2 x}{2}) + \frac{d}{d x} [0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.2

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π - 2 x}{2}) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.6

Somma $\sin (\frac{π - 2 x}{2})$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π - 2 x}{2})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π - 2 x}{2})}{1}$

Passaggio 3.4

Dividi $\sin (\frac{π - 2 x}{2})$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \sin (\frac{π - 2 x}{2})$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\sin (lim_{x \to 0} \frac{π - 2 x}{2})$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to 0} π - 2 x)$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} π - lim_{x \to 0} 2 x))$

Passaggio 4.4

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - lim_{x \to 0} 2 x))$

Passaggio 4.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - (2 lim_{x \to 0} x)))$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - (2 \cdot 0)))$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- (2 \cdot 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - 0))$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π + 0))$

Passaggio 6.2

Somma $π$ e $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} π)$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{2}$ e $π$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$1$