Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (5 x)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7.5

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (5 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (3 x)$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.7

Sposta $5$ alla sinistra di $\sin (3 x) \cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot (\sin (3 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.8.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.11

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.12

Sposta $3$ alla sinistra di $\sin (5 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + 3 \cdot (\sin (5 x) \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.13

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{2 x}$

Passaggio 2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{x}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.2

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} \cos (5 x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} \cos (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.5

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.7

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.8

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.9

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.11

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.12

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.13

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.14

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.14.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.14.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.14.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.14.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.15.1.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 1 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15.1.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15.1.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot \sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15.1.6

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15.1.7

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cos (0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15.1.8

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15.1.9

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15.1.10

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15.1.11

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15.1.12

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.15.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \cos (5 x) \sin (3 x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\cos (5 x) \sin (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (5 x)$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.6.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.9

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.10

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cdot 3 \cdot \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.11

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cdot \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.12

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.13

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (3 x) \sin (5 x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (3 x)$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.3.2

La derivata di $\sin (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.6.2

La derivata di $\cos (u_{4})$ rispetto a $u_{4}$ è $- \sin (u_{4})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.9

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.10

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.11

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cdot \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.12

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4.13

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 3 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 3 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.3.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.3.2

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.3.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.3.4

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.3.5

Riordina i fattori di $15 \cos (5 x) \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.3.6

Somma $15 \cos (3 x) \cos (5 x)$ e $15 \cos (3 x) \cos (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.3.7

Riordina i fattori di $- 9 \sin (5 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5.3.8

Sottrai $9 \sin (3 x) \sin (5 x)$ da $- 25 \sin (3 x) \sin (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)}{1}$

Passaggio 3.4

Dividi $30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 30 \cos (3 x) \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $30$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (30 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Passaggio 4.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} (30 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Passaggio 4.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} (30 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Passaggio 4.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Passaggio 4.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Passaggio 4.7

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Passaggio 4.8

Sposta il termine $34$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (5 x))$

Passaggio 4.9

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Passaggio 4.10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Passaggio 4.11

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Passaggio 4.12

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x))$

Passaggio 4.13

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (30 \cdot 1 \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $30$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (30 \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (30 \cdot \cos (0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (30 \cdot 1 - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.6

Moltiplica $30$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (30 - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.7

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (30 - 34 \sin (0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.8

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (30 - 34 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.9

Moltiplica $- 34$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Passaggio 6.1.10

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot \sin (0))$

Passaggio 6.1.11

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot 0)$

Passaggio 6.1.12

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (30 + 0)$

Passaggio 6.2

Somma $30$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 30$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $30$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (15))$

Passaggio 6.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 15)$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi l'espressione.

$15$