Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

Passaggio 1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 0} {(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1}$ come $e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})}$ .

$\ln (lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})})$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$ spostando $x - 1$ fuori dal logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 0} e^{(x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (e^{lim_{x \to 0} (x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Passaggio 3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Passaggio 3.5

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + 8 x + 1)})$

Passaggio 3.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

Passaggio 3.7

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

Passaggio 3.8

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)})$

Passaggio 3.9

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)})$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)$ dall'esponente.

$(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(0 - 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Passaggio 5.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Passaggio 5.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $8$ per $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 0 + 1) \ln (e)$

Passaggio 5.5

Somma $0$ e $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 1) \ln (e)$

Passaggio 5.6

Somma $0$ e $1$ .

$- 1 \cdot \ln (1) \ln (e)$

Passaggio 5.7

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- 1 \cdot 0 \ln (e)$

Passaggio 5.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 \ln (e)$

Passaggio 5.9

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 5.10

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0$