Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)}{x \sin (3 x)}$

Passaggio 1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)}{x \sin (3 x)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.5

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{\sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{\sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{\sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.7.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.7.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.7.5

Moltiplica $0$ per $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Passaggio 2.1.3.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Passaggio 2.1.3.5.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot 0}$

Passaggio 2.1.3.5.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$- \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.5.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)}{x \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (2 x)$ e $g (x) = \sin (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.7

Sposta $4$ alla sinistra di $\sin (2 x) \cos (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.8.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.11

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.12

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (4 x) \cos (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + 2 \cdot \sin (4 x) \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.13

Riordina i termini.

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.14

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.15

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.15.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.15.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.16

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.18

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.19

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cdot 3 \cdot \cos (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.20

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cdot 3 \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot 1}$

Passaggio 2.3.21

Moltiplica $\sin (3 x)$ per $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cdot 3 \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 2.3.22

Riordina i termini.

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- \frac{lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- \frac{4 \cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.5

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.8

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.9

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.11

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.12

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.13

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.14

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.14.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.14.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.14.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.14.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.15.1.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{4 \cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{4 \cdot 1 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{4 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{4 \cdot \sin (0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{4 \cdot 0 + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.6

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{0 + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.7

Riordina $2 \cos (2 \cdot 0)$ e $\sin (4 \cdot 0)$ .

$- \frac{0 + \sin (4 \cdot 0) \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.8

Riordina $\sin (4 \cdot 0)$ e $2$ .

$- \frac{0 + 2 \cdot \sin (4 \cdot 0) \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.9

Scomponi $4$ da $2 \cdot 0$ .

$- \frac{0 + 2 \cdot \sin (4 \cdot 0) \cos (4 \cdot 2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.10

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{0 + 2 \cdot \sin (4 \cdot 0) \cos (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.11

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$- \frac{0 + \sin (2 \cdot 4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.12

Moltiplica $2 (4 \cdot 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.15.1.12.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{0 + \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.12.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.1.13

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.2.15.2

Somma $0$ e $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.3.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.3.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.3.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 3.1.3.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Passaggio 3.1.3.7

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.8

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.8.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.8.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.8.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 3.1.3.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.9.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 3.1.3.9.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 3.1.3.9.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 3.1.3.9.1.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$- \frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 3.1.3.9.1.5

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.9.1.6

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 3.1.3.9.2

Somma $0$ e $0$ .

$- \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.9.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.10

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (4 x) \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (2 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (4 x)$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.6.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.10

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cdot 2 \cdot \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.11

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cdot \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.12

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.3.13

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (2 x) \sin (4 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (4 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (2 x)$ e $g (x) = \sin (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.3.2

La derivata di $\sin (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\cos (u_{3})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.6.2

La derivata di $\cos (u_{4})$ rispetto a $u_{4}$ è $- \sin (u_{4})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.9

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.10

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cdot 4 \cdot \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.11

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (4 \cdot \cos (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (4 \cos (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.4.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (4 \cos (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot 2 \cos (4 x) \cos (2 x) + 4 \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x) + 2 (4 \cos (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot 2 \cos (4 x) \cos (2 x) + 4 \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x) + 2 \cdot 4 \cos (2 x) \cos (4 x) + 2 \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \cos (2 x) + 4 \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x) + 2 \cdot 4 \cos (2 x) \cos (4 x) + 2 \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \cos (2 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) + 2 \cdot 4 \cos (2 x) \cos (4 x) + 2 \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \cos (2 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) + 8 \cos (2 x) \cos (4 x) + 2 \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \cos (2 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) + 8 \cos (2 x) \cos (4 x) - 4 \sin (4 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.5

Riordina i fattori di $8 \cos (4 x) \cos (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (2 x) \cos (4 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) + 8 \cos (2 x) \cos (4 x) - 4 \sin (4 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.6

Somma $8 \cos (2 x) \cos (4 x)$ e $8 \cos (2 x) \cos (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) - 4 \sin (4 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.7

Riordina i fattori di $- 4 \sin (4 x) \sin (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) - 4 \sin (2 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.5.3.8

Sottrai $4 \sin (2 x) \sin (4 x)$ da $- 16 \sin (2 x) \sin (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x \cos (3 x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.7.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.7.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.7.3.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.7.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.7.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.7.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.7.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.7.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.7.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.7.9

Moltiplica $\cos (3 x)$ per $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 3.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.8.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.8.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.3.8.1.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.3.8.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.3.8.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.8.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.8.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3}$

Passaggio 3.3.8.5

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + 3 \cos (3 x)}$

Passaggio 3.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 x \cdot - 3 \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

Passaggio 3.3.9.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.2.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

Passaggio 3.3.9.2.2

Somma $3 \cos (3 x)$ e $3 \cos (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0} 16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0} 16 \cos (2 x) \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.3

Sposta il termine $16$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{16 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{16 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- \frac{16 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.8

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.9

Sposta il termine $20$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 lim_{x \to 0} \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.10

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.11

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.12

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.13

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.14

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.15

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 9 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.16

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.17

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.18

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.19

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Passaggio 4.20

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Passaggio 4.21

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Passaggio 4.22

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.7

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$ e $- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $2$ da $16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0)$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0)) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $2$ da $- 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0)) + 2 (- 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $2$ da $2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0)) + 2 (- 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.1.4.2

Scomponi $2$ da $6 \cos (3 \cdot 0)$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)) + 2 (3 \cos (3 \cdot 0))}$

Passaggio 6.1.4.3

Scomponi $2$ da $2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)) + 2 (3 \cos (3 \cdot 0))$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0))}$

Passaggio 6.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0))}$

Passaggio 6.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{8 \cdot 1 \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$- \frac{8 \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{8 \cdot \cos (0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{8 \cdot 1 - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $8$ per $1$ .

$- \frac{8 - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2.7

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{8 - 10 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2.8

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{8 - 10 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$- \frac{8 + 0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2.10

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{8 + 0 \cdot \sin (0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2.11

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{8 + 0 \cdot 0}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2.12

Moltiplica $0$ per $0$ .

$- \frac{8 + 0}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.2.13

Somma $8$ e $0$ .

$- \frac{8}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$- \frac{8}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{8}{0 \cdot \sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{8}{0 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.3.4

Moltiplica $0$ per $0$ .

$- \frac{8}{0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{8}{0 + 3 \cos (0)}$

Passaggio 6.3.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{8}{0 + 3 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{8}{0 + 3}$

Passaggio 6.3.8

Somma $0$ e $3$ .

$- \frac{8}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{8}{3}$

Forma decimale:

$- 2.\overline{6}$