Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - 2 x)}{\sin (3 x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\ln (1 - 2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - 2 x)}{\sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3.7

$- 2$ e $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x}}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Passaggio 1.3.11

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.11.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 1.3.11.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 1.3.11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x}}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 1.3.12

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x}}{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 1.3.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x}}{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.14

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x}}{\cos (3 x) \cdot 3}$

Passaggio 1.3.15

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x}}{3 \cos (3 x)}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} - \frac{2}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{3 \cos (3 x)}$

Passaggio 1.5

Moltiplica $\frac{1}{3 \cos (3 x)}$ per $\frac{2}{1 - 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2}{3 \cos (3 x) (1 - 2 x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{2}{3 \cos (3 x) (1 - 2 x)}$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $\frac{2}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (3 x) (1 - 2 x)}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) (1 - 2 x)}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) (1 - 2 x)}$

Passaggio 2.5

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x}$

Passaggio 2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x}$

Passaggio 2.7

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x}$

Passaggio 2.8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x)}$

Passaggio 2.9

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - lim_{x \to 0} 2 x)}$

Passaggio 2.10

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 \cdot 0) \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 \cdot 0) \cdot (1 - 2 \cdot 0)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Frazioni separate.

$- \frac{2}{3} (\frac{1}{1 - 2 \cdot 0} \cdot \frac{1}{\cos (3 \cdot 0)})$

Passaggio 4.2

Converti da $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ a $\sec (3 \cdot 0)$ .

$- \frac{2}{3} (\frac{1}{1 - 2 \cdot 0} \sec (3 \cdot 0))$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$- \frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 0} \sec (3 \cdot 0))$

Passaggio 4.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 0} \sec (0))$

Passaggio 4.5

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{2}{3} (\frac{1}{1} \sec (0))$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 4.6.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{3} (\frac{1}{1} \sec (0))$

Passaggio 4.6.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{3} (1 \sec (0))$

Passaggio 4.7

Moltiplica $\sec (0)$ per $1$ .

$- \frac{2}{3} \sec (0)$

Passaggio 4.8

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 1$

Passaggio 4.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{2}{3}$

Forma decimale:

$- 0.\overline{6}$