Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{x \sin (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (4 x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (4 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin^{2} (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (4 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $8$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.8

Riordina i fattori di $8 \sin (4 x) \cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.9

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.12

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 2

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \sin (4 x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$8 \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$8 \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$8 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$8 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$8 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.5

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$8 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$8 \frac{\cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$8 \frac{\cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$8 \frac{\cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.7.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$8 \frac{1 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.7.3

Moltiplica $\sin (4 \cdot 0)$ per $1$ .

$8 \frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.7.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$8 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.7.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$8 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$8 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$8 \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$8 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$8 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.6.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$8 \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.6.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$8 \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.6.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$8 \frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 3.1.3.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$8 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.6.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$8 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$8 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$8 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \sin (4 x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$8 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (4 x)$ e $g (x) = \sin (4 x)$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.4

Eleva $\cos (4 x)$ alla potenza di $1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.5

Eleva $\cos (4 x)$ alla potenza di $1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (4 x) \cos^{1} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 lim_{x \to 0} \frac{{\cos (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $4$ per $1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (4 x) \cdot 4 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.11

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos^{2} (4 x)$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot \cos^{2} (4 x) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.12

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.12.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) + \sin (4 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.12.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.12.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.13

Eleva $\sin (4 x)$ alla potenza di $1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - \sin^{1} (4 x) \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.14

Eleva $\sin (4 x)$ alla potenza di $1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - \sin^{1} (4 x) \sin^{1} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - {\sin (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.16

Somma $1$ e $1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - \sin^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.17

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - \sin^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.18

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.19

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.20

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.21

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \cos (x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.22

Calcola $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.22.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.22.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.22.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.22.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.23

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

Passaggio 3.3.24

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.24.1

Somma $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 3.3.24.2

Riordina i termini.

$8 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$8 \frac{lim_{x \to 0} 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \sin^{2} (4 x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$8 \frac{lim_{x \to 0} 4 \cos^{2} (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (4 x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$8 \frac{4 lim_{x \to 0} \cos^{2} (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (4 x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.4

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (4 x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$8 \frac{4 {(lim_{x \to 0} \cos (4 x))}^{2} - lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (4 x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$8 \frac{4 \cos^{2} (lim_{x \to 0} 4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (4 x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.6

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (4 x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.7

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \sin^{2} (4 x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.8

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (4 x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 {(lim_{x \to 0} \sin (4 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.10

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.11

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.12

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.13

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.14

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 4.15

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 4 \sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 4 \sin^{2} (4 \cdot 0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 4 \sin^{2} (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 4 \sin^{2} (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$8 \frac{4 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 4 \sin^{2} (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $4 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 4 \sin^{2} (4 \cdot 0)$ e $0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $2$ da $4 \cos^{2} (4 \cdot 0)$ .

$8 \frac{2 (2 \cos^{2} (4 \cdot 0)) - 4 \sin^{2} (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $2$ da $- 4 \sin^{2} (4 \cdot 0)$ .

$8 \frac{2 (2 \cos^{2} (4 \cdot 0)) + 2 (- 2 \sin^{2} (4 \cdot 0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $2$ da $2 (2 \cos^{2} (4 \cdot 0)) + 2 (- 2 \sin^{2} (4 \cdot 0))$ .

$8 \frac{2 (2 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (4 \cdot 0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Scomponi $2$ da $0 \cdot \sin (0)$ .

$8 \frac{2 (2 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (4 \cdot 0))}{2 (0 \cdot \sin (0)) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.4.2

Scomponi $2$ da $2 \cos (0)$ .

$8 \frac{2 (2 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (4 \cdot 0))}{2 (0 \cdot \sin (0)) + 2 (\cos (0))}$

Passaggio 6.1.4.3

Scomponi $2$ da $2 (0 \cdot \sin (0)) + 2 (\cos (0))$ .

$8 \frac{2 (2 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (4 \cdot 0))}{2 (0 \cdot \sin (0) + \cos (0))}$

Passaggio 6.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$8 \frac{2 (2 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (4 \cdot 0))}{2 (0 \cdot \sin (0) + \cos (0))}$

Passaggio 6.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$8 \frac{2 \cos^{2} (4 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$8 \frac{2 \cos^{2} (0) - 2 \sin^{2} (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Passaggio 6.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$8 \frac{2 \cdot 1^{2} - 2 \sin^{2} (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Passaggio 6.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 \frac{2 \cdot 1 - 2 \sin^{2} (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$8 \frac{2 - 2 \sin^{2} (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $4$ per $0$ .

$8 \frac{2 - 2 \sin^{2} (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Passaggio 6.2.6

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$8 \frac{2 - 2 \cdot 0^{2}}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Passaggio 6.2.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$8 \frac{2 - 2 \cdot 0}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Passaggio 6.2.8

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$8 \frac{2 + 0}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Passaggio 6.2.9

Somma $2$ e $0$ .

$8 \frac{2}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Passaggio 6.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$8 \frac{2}{0 \cdot 0 + \cos (0)}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$8 \frac{2}{0 + \cos (0)}$

Passaggio 6.3.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$8 \frac{2}{0 + 1}$

Passaggio 6.3.4

Somma $0$ e $1$ .

$8 (\frac{2}{1})$

Passaggio 6.4

Dividi $2$ per $1$ .

$8 \cdot 2$

Passaggio 6.5

Moltiplica $8$ per $2$ .

$16$