Calcolo Esempi

$lim_{x \to 8} (x) \sin (\frac{π}{x})$

Passaggio 1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{π}{x})$

Passaggio 2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Passaggio 3

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Passaggio 4

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Passaggio 5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{8})$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

$π$ e $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 7.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $\frac{π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$8 \cdot \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Passaggio 7.2.2

Applica la formula di bisezione per il seno.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Passaggio 7.2.3

Cambia $\pm$ in $+$ , poiché il seno è positivo nel primo quadrante.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Passaggio 7.2.4.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 7.2.4.5

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 7.2.4.5.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 7.2.4.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Passaggio 7.2.4.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 7.2.4.7

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.2.4.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 7.2.4.7.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.3.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 (4) \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 7.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 7.3.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Forma decimale:

$3.06146745 \dots$