Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\cot (2 x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\cot (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\cot (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \tan (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $\sec^{2} (x)$ da $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 1.3.6.2

La derivata di $\cot (u)$ rispetto a $u$ è $- \csc^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 1.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{- 2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.4

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 2.6

Sposta l'esponente $2$ da $\csc^{2} (2 x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (2 x))}^{2}}$

Passaggio 2.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la cosecante è continua.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Passaggio 2.8

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc^{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{4}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\csc^{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina.

$\frac{1 (- \sec^{2} (\frac{π}{4}))}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Passaggio 4.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Passaggio 4.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 4.3.2

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \cdot 1^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.4.1

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{4})$ è $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.4.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.5

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2^{1}}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- 1 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{- 2}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 4.7

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 4.7.2

Riscrivi l'espressione.

$1$