Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\sin (3 x)}{1 - 2 \cos (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{3}$ per $x$ .

$\frac{\sin (3 \frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (3 \frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{1 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{1 - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{3}$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - 2 \cos (\frac{π}{3})}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{1 - 2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.1.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{0}{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\sin (3 x)}{1 - 2 \cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.3.9.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{0 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 1.3.9.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{0 - 2 (- \sin (x))}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{0 + 2 \sin (x)}$

Passaggio 1.3.10

Somma $0$ e $2 \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{2 \sin (x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{3}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

Passaggio 2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{3}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{3}$ per $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 \frac{π}{3})}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{3}$ per $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 \frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\frac{\cos (3 \frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$ come un prodotto.

$\frac{3}{2} (\cos (3 \frac{π}{3}) \frac{1}{\sin (\frac{π}{3})})$

Passaggio 4.2

Scrivi $\cos (3 \frac{π}{3})$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 \frac{π}{3})}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{π}{3})})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Dividi $\cos (3 \frac{π}{3})$ per $1$ .

$\frac{3}{2} (\cos (3 \frac{π}{3}) \frac{1}{\sin (\frac{π}{3})})$

Passaggio 4.3.2

Converti da $\frac{1}{\sin (\frac{π}{3})}$ a $\csc (\frac{π}{3})$ .

$\frac{3}{2} (\cos (3 \frac{π}{3}) \csc (\frac{π}{3}))$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} (\cos (3 \frac{π}{3}) \csc (\frac{π}{3}))$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2} (\cos (π) \csc (\frac{π}{3}))$

Passaggio 4.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{3}{2} (- \cos (0) \csc (\frac{π}{3}))$

Passaggio 4.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{3}{2} (- 1 \cdot 1 \csc (\frac{π}{3}))$

Passaggio 4.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3}{2} (- \csc (\frac{π}{3}))$

Passaggio 4.8

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{3})$ è $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{2}{\sqrt{3}})$

Passaggio 4.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.9.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{\sqrt{3}}$ nel numeratore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.9.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.9.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.9.4

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.10

$3$ e $\frac{- 1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.11

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.13

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 4.14

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.14.1

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.14.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.14.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 4.14.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.14.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.14.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 4.14.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.14.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.14.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.14.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.14.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.14.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 4.14.6.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.15

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.15.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.15.2

Dividi $\sqrt{3}$ per $1$ .

$- \sqrt{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \sqrt{3}$

Forma decimale:

$- 1.73205080 \dots$