Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\tan (5 x)}$

Passaggio 1

Applica le identità trigonometriche.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\tan (5 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\tan (4 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Converti da $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ a $\tan (4 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Passaggio 1.4.2

Converti da $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ a $\cot (5 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cot (5 x)$

Passaggio 2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Passaggio 3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Passaggio 4

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Passaggio 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x)$

Passaggio 6

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Passaggio 7

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\tan (2 (2) \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Passaggio 8.1.2

Elimina il fattore comune.

$\tan (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Passaggio 8.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\tan (2 π) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Passaggio 8.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\tan (0) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Passaggio 8.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$0 \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Passaggio 8.4

$5$ e $\frac{π}{2}$ .

$0 \cdot \cot (\frac{5 π}{2})$

Passaggio 8.5

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$0 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Passaggio 8.6

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$0 \cdot 0$

Passaggio 8.7

Moltiplica $0$ per $0$ .

$0$