Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (3 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\cos (3 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{\cos (3 \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

$3$ e $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 x)}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x)}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (2 \frac{π}{2})}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.1.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0}{1 + \cos (2 \frac{π}{2})}$

Passaggio 1.1.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (3 x)}{1 + \cos (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Passaggio 1.3.9.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.3.9.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 1.3.9.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 1.3.9.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 1.3.9.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 1.3.9.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.9.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 - \sin (2 x) \cdot 2}$

Passaggio 1.3.9.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 - 2 \sin (2 x)}$

Passaggio 1.3.10

Sottrai $2 \sin (2 x)$ da $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- 2 \sin (2 x)}$

Passaggio 2

Poiché la funzione tende a $- \infty$ da sinistra e a $\infty$ da destra, il limite non esiste.

$Non esiste$