Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{5 \cos (x)}{x - (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 1

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{x - \frac{3 π}{2}}$

Passaggio 2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 π}{2}}$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{3 π}{2}}$

Passaggio 2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2 - 3 π}{2}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Semplifica l'argomento del limite.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x) \frac{2}{x \cdot 2 - 3 π}$

Passaggio 3.1.2

$\cos (x)$ e $\frac{2}{x \cdot 2 - 3 π}$ .

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x) \cdot 2}{x \cdot 2 - 3 π}$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - 3 π}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$5 \cdot 2 \frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 4.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$5 \cdot 2 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Passaggio 4.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{3 π}{2}$ per $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1.2.3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$5 \cdot 2 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{3 π}{2}$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3 π}$

Passaggio 4.1.3.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3 π}$

Passaggio 4.1.3.1.3

Calcola il limite di $3 π$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{3 π}{2}$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x - 3 π}$

Passaggio 4.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{3 π}{2}$ per $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{2 \frac{3 π}{2} - 3 π}$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 2 \frac{0}{2 \frac{3 π}{2} - 3 π}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$5 \cdot 2 \frac{0}{3 π - 3 π}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Sottrai $3 π$ da $3 π$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$5 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$5 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$5 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - 3 π} = lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 3 π]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 3 π]}$

Passaggio 4.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 3 π]}$

Passaggio 4.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \cdot 2 - 3 π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 3 π]$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Passaggio 4.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

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Passaggio 4.3.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Passaggio 4.3.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Passaggio 4.3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Passaggio 4.3.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Passaggio 4.3.5

Poiché $- 3 π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + 0}$

Passaggio 4.3.6

Somma $2$ e $0$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{1}{2} lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)$

Passaggio 5.2

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x)$

Passaggio 5.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$5 \cdot 2 \frac{1}{2} \cdot - 1 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{3 π}{2}$ per $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{1}{2} \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$10 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$2 (5) \frac{1}{2} \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 5 \frac{1}{2} \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 7.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 7.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 7.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.6

Moltiplica $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$5$