Calcolo Esempi

$\frac{x - x^{2}}{2 - 3 x + x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - x^{2}$ e $g (x) = 2 - 3 x + x^{2}$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - (2 x)) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 3 x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Espandi $(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 2 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 2 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.6

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} x + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.9

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.9.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.9.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.9.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.9.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{1 + 2} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.9.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Sottrai $3 x$ da $- 4 x$ .

$\frac{2 - 7 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Somma $6 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $- - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x + 1 x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x + x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.6

Espandi $(- x + x^{2}) (- 3 + 2 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x (- 3 + 2 x) + x^{2} (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x \cdot - 3 - x (2 x) + x^{2} (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x \cdot - 3 - x (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - x (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.7.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 x \cdot x + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.7.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.7.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.7.1.5

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 \cdot x^{2} + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.7.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{2} x}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.7.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1.7.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2})}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.7.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2})}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.7.1.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{1 + 2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.7.1.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{3}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.7.2

Sottrai $3 x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 5 x^{2} + 2 x^{3}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Combina i termini opposti in $2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 5 x^{2} + 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Somma $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2} + 0}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $- 7 x$ e $3 x$ .

$\frac{2 + 7 x^{2} - 4 x - 5 x^{2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $5 x^{2}$ da $7 x^{2}$ .

$\frac{2 + 2 x^{2} - 4 x}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 4 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 4 x + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{2} - 2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 3.4.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $x^{2} - 3 x + 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.5.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 3.5.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 2) (x - 1))}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Applica la regola del prodotto a $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$