Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3}{\sin (x) + 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.6

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.7

Calcola il limite inserendo $\frac{3 π}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{3 π}{2}$ per $x$ .

$\frac{\sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{3 π}{2}$ per $x$ .

$\frac{\sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\frac{{(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 1)}^{2} + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\frac{1 + 4 (- \sin (\frac{π}{2})) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1 + 4 (- 1 \cdot 1) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.1.7

Moltiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot - 1 + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.1.7.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1 - 4 + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.3

Somma $- 3$ e $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{3 π}{2}$ per $x$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{3 π}{2}) + 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\frac{0}{- \sin (\frac{π}{2}) + 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3}{\sin (x) + 1} = lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.4.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.6.2

Riordina i termini.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (x) \sin (x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (x) (2 \cos (x)) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.6.3.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.6.3.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 1.3.8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x) + 0}$

Passaggio 1.3.10

Somma $\cos (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (2 x) + 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (2 x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.4

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 \cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.6

Calcola il limite inserendo $\frac{3 π}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{3 π}{2}$ per $x$ .

$\frac{\sin (2 \frac{3 π}{2}) + 4 \cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{3 π}{2}$ per $x$ .

$\frac{\sin (2 \frac{3 π}{2}) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (2 \frac{3 π}{2}) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (3 π) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{\sin (π) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sin (0) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{0 + 4 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.1.7

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{3 π}{2}$ per $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x)} = lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (2 x) + 4 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.4.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) + 4 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) - 4 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 2.3.5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) - 4 \sin (x)}{- \sin (x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 \cos (2 x) - 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 \cos (2 x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Passaggio 3.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (2 x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Passaggio 3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Passaggio 3.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Passaggio 3.6

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Passaggio 3.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Passaggio 3.8

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{- lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x)}$

Passaggio 3.9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $\frac{3 π}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{3 π}{2}$ per $x$ .

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{3 π}{2}$ per $x$ .

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{3 π}{2}$ per $x$ .

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cos (3 π) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{2 \cos (π) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{2 (- \cos (0)) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5.1.5

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 5.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5.1.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\frac{- 2 - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{- 2 - 4 (- 1 \cdot 1)}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5.1.8

Moltiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 5.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 2 - 4 \cdot - 1}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5.1.8.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 + 4}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5.1.9

Somma $- 2$ e $4$ .

$\frac{2}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\frac{2}{- - \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 5.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{2}{- (- 1 \cdot 1)}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2}{- - 1}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2}{1}$

Passaggio 5.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2$