Calcolo Esempi

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{9 x^{2} - 1}{3 x + 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 9 x^{2} - 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 9 x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{3}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{9 lim_{x \to - \frac{1}{3}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{3}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{9 {(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{3}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \frac{1}{3}$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{3}$ per $x$ .

$\frac{9 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$\frac{9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9 (1 \frac{1^{2}}{3^{2}}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$\frac{9 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{9 \frac{1}{3^{2}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9 (\frac{1}{9}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.6

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 (\frac{1}{9}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{3}} 3 x + lim_{x \to - \frac{1}{3}} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - \frac{1}{3}} x + lim_{x \to - \frac{1}{3}} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - \frac{1}{3}} x + 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{3}$ per $x$ .

$\frac{0}{3 (- \frac{1}{3}) + 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$\frac{0}{3 (\frac{- 1}{3}) + 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{0}{3 (\frac{- 1}{3}) + 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{9 x^{2} - 1}{3 x + 1} = lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 x + 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 x + 1]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 x + 1]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 x + 1]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 x + 1]}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{18 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 x + 1]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{18 x + 0}{\frac{d}{d x} [3 x + 1]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $18 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{18 x}{\frac{d}{d x} [3 x + 1]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{18 x}{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.3.7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{18 x}{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{18 x}{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 1.3.7.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{18 x}{3 + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{18 x}{3 + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $3$ e $0$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{18 x}{3}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $18$ e $3$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $3$ da $18 x$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{3 (6 x)}{3}$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{3 (6 x)}{3 (1)}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{3 (6 x)}{3 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{6 x}{1}$

Passaggio 1.4.2.4

Dividi $6 x$ per $1$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} 6 x$

Passaggio 2

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 lim_{x \to - \frac{1}{3}} x$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $- \frac{1}{3}$ per $x$ .

$6 (- \frac{1}{3})$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$6 (\frac{- 1}{3})$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{- 1}{3}$

Passaggio 4.1.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{- 1}{3}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot - 1$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2$