Calcolo Esempi

$lim_{t \to 0} \frac{\sin^{2} (\frac{t}{2})}{\sin (t)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin^{2} (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (\frac{t}{2})$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{t \to 0} \sin (\frac{t}{2}))}^{2}}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin^{2} (lim_{t \to 0} \frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{\sin^{2} (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{\sin^{2} (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} t)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 1.1.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin^{2} (\frac{t}{2})}{\sin (t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin^{2} (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin^{2} (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \sin (\frac{t}{2})$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{t}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{t}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) (\cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{t}{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.5

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2}{2} \sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.6

$\frac{2}{2}$ e $\sin (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 \sin (\frac{t}{2})}{2} \cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.7

$\frac{2 \sin (\frac{t}{2})}{2}$ e $\cos (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})}{2} \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})}{2} \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.8.2

Dividi $\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})$ per $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2}) \cdot 1}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $\sin (\frac{t}{2})$ per $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.11

Riordina i fattori di $\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (\frac{t}{2}) \sin (\frac{t}{2})}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Passaggio 1.3.12

La derivata di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (\frac{t}{2}) \sin (\frac{t}{2})}{\cos (t)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $t$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \cos (\frac{t}{2}) \sin (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Passaggio 2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \cos (\frac{t}{2}) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Passaggio 2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{t \to 0} \frac{t}{2}) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t) \cdot \sin (lim_{t \to 0} \frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t) \cdot \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Passaggio 2.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t) \cdot \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} t)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} \cdot 0) \cdot \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} t)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} \cdot 0) \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{\cos (lim_{t \to 0} t)}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} \cdot 0) \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{\cos (0)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{\cos (0) \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{\cos (0)}$

Passaggio 4.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{\cos (0)}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{1 \sin (0)}{\cos (0)}$

Passaggio 4.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1 \cdot 0}{\cos (0)}$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{0}{\cos (0)}$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{1}$

Passaggio 4.3

Dividi $0$ per $1$ .

$0$