Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Passaggio 1

Calcola il limite di $\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 3$ .

$\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Passaggio 2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{y^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Passaggio 2.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ e la cui somma è $b = 7$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $7$ da $7 y$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 (y) + 3}}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi $7$ come $1$ più $6$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}}$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}}$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + y + 6 y + 3}}$

Passaggio 2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}}$

Passaggio 2.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}}$

Passaggio 2.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 y + 1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

Passaggio 2.4

Riduci l'espressione $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$ come $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ per $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$

Passaggio 2.7

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ per $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1} \sqrt{2 y + 1}}$

Passaggio 2.7.2

Eleva $\sqrt{2 y + 1}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} \sqrt{2 y + 1}}$

Passaggio 2.7.3

Eleva $\sqrt{2 y + 1}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} {\sqrt{2 y + 1}}^{1}}$

Passaggio 2.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{2}}$

Passaggio 2.7.6

Riscrivi ${\sqrt{2 y + 1}}^{2}$ come $2 y + 1$ .

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Passaggio 2.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 y + 1}$ come ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{1}}$

Passaggio 2.7.6.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{2 y + 1}$

Passaggio 2.8

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{(y - 3) (2 y + 1)}}{2 y + 1}$