Calcolo Esempi

$y = - \frac{x}{4 y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4 y})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{4 y}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2} \cdot 4}$

Passaggio 3.6

Sposta $4$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$- \frac{y - x y'}{4 y^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{y - x y'}{4 y^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $4 y^{2}$ .

$y' (4 y^{2}) = - \frac{y - x y'}{4 y^{2}} (4 y^{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 y' y^{2} = - \frac{y - x y'}{4 y^{2}} (4 y^{2})$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $- \frac{y - x y'}{4 y^{2}} (4 y^{2})$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4 y^{2}$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y - x y'}{4 y^{2}}$ nel numeratore.

$4 y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{4 y^{2}} (4 y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{4 y^{2}} (4 y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 y' y^{2} = - (y - x y')$

Passaggio 5.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 y' y^{2} = - y - (- x y')$

Passaggio 5.2.2.1.3

Moltiplica $- (- x y')$ .

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Passaggio 5.2.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 y' y^{2} = - y + 1 (x y')$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$4 y' y^{2} = - y + x y'$

Passaggio 5.2.2.1.4

Riordina $x$ e $y'$ .

$4 y' y^{2} = - y + y' x$

Passaggio 5.2.2.1.5

Riordina $- y$ e $y' x$ .

$4 y' y^{2} = y' x - y$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Sottrai $y' x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y' y^{2} - y' x = - y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $4 y' y^{2} - y' x$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y'$ da $4 y' y^{2}$ .

$y' (4 y^{2}) - y' x = - y$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y'$ da $- y' x$ .

$y' (4 y^{2}) + y' (- 1 x) = - y$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (4 y^{2}) + y' (- 1 x)$ .

$y' (4 y^{2} - 1 x) = - y$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y' (4 y^{2} - x) = - y$

Passaggio 5.3.4

Dividi per $4 y^{2} - x$ ciascun termine in $y' (4 y^{2} - x) = - y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.4.1

Dividi per $4 y^{2} - x$ ciascun termine in $y' (4 y^{2} - x) = - y$ .

$\frac{y' (4 y^{2} - x)}{4 y^{2} - x} = \frac{- y}{4 y^{2} - x}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4 y^{2} - x$ .

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Passaggio 5.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (4 y^{2} - x)}{4 y^{2} - x} = \frac{- y}{4 y^{2} - x}$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y}{4 y^{2} - x}$

Passaggio 5.3.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{4 y^{2} - x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{4 y^{2} - x}$