Calcolo Esempi

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{x^{2} + 9 x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 9 x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 7

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{8 - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{8 - \sqrt{8^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 7.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{8 - \sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{8 - \sqrt{64 + 9 \cdot 8 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $9$ per $8$ .

$\frac{8 - \sqrt{64 + 72 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 8.1.3

Somma $64$ e $72$ .

$\frac{8 - \sqrt{136 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 8.1.4

Somma $136$ e $2$ .

$\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ per $\frac{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ .

$\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}} \cdot \frac{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

Passaggio 8.3

Moltiplica $\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ per $\frac{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ .

$\frac{(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{(x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}$

Passaggio 8.4

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{x^{4} + x^{2} \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} x^{2} - {\sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}^{2}}$

Passaggio 8.5

Semplifica.

$\frac{(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{- 3 x^{2} - 5}$

Passaggio 8.6

Espandi $(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 8.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}) - \sqrt{138} (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{- 3 x^{2} - 5}$

Passaggio 8.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{- 3 x^{2} - 5}$

Passaggio 8.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138} \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{- 3 x^{2} - 5}$

Passaggio 8.7

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{(x^{4} + 3 x^{2} + 5) \cdot 138}}{- 3 x^{2} - 5}$

Passaggio 8.8

Riordina i fattori in $8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{(x^{4} + 3 x^{2} + 5) \cdot 138}$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- 3 x^{2} - 5}$

Passaggio 8.9

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- (3 x^{2}) - 5}$

Passaggio 8.10

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- (3 x^{2}) - 1 (5)}$

Passaggio 8.11

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- (3 x^{2} + 5)}$

Passaggio 8.12

Riscrivi $- (3 x^{2} + 5)$ come $- 1 (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- 1 (3 x^{2} + 5)}$

Passaggio 8.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{3 x^{2} + 5}$