Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{7 h}{\sin (7 h)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} 7 h}{lim_{h \to 0} \sin (7 h)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{7 lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} \sin (7 h)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{7 \cdot 0}{lim_{h \to 0} \sin (7 h)}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $7$ per $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} \sin (7 h)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{h \to 0} 7 h)}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{0}{\sin (7 lim_{h \to 0} h)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{\sin (7 \cdot 0)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $7$ per $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 1.3.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{7 h}{\sin (7 h)} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [7 h]}{\frac{d}{d h} [\sin (7 h)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [7 h]}{\frac{d}{d h} [\sin (7 h)]}$

Passaggio 3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $7 h$ rispetto a $h$ è $7 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7 \frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [\sin (7 h)]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7 \cdot 1}{\frac{d}{d h} [\sin (7 h)]}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7}{\frac{d}{d h} [\sin (7 h)]}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = \sin (h)$ e $g (h) = 7 h$ .

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Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [7 h]}$

Passaggio 3.5.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7}{\cos (u) \frac{d}{d h} [7 h]}$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7}{\cos (7 h) \frac{d}{d h} [7 h]}$

Passaggio 3.6

Poiché $7$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $7 h$ rispetto a $h$ è $7 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7}{\cos (7 h) (7 \frac{d}{d h} [h])}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7}{\cos (7 h) (7 \cdot 1)}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $7$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7}{\cos (7 h) \cdot 7}$

Passaggio 3.9

Sposta $7$ alla sinistra di $\cos (7 h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7}{7 \cos (7 h)}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $7$ .

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{h \to 0} \frac{7}{7 \cos (7 h)}$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos (7 h)}$

Passaggio 5

Converti da $\frac{1}{\cos (7 h)}$ a $\sec (7 h)$ .

$lim_{h \to 0} \sec (7 h)$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\sec (lim_{h \to 0} 7 h)$

Passaggio 6.2

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\sec (7 lim_{h \to 0} h)$

Passaggio 7

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\sec (7 \cdot 0)$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $7$ per $0$ .

$\sec (0)$

Passaggio 8.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$1$