Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} 4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite di $4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{4 + \sqrt{5 - (x + 0)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{4 + \sqrt{5 - x} - (4 + \sqrt{5 - x})}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 + \sqrt{5 - x} - 1 \cdot 4 - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4 + \sqrt{5 - x} - 4 - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.4

Combina i termini opposti in $4 + \sqrt{5 - x} - 4 - \sqrt{5 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0 + \sqrt{5 - x} - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Somma $0$ e $\sqrt{5 - x}$ .

$\frac{\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Sottrai $\sqrt{5 - x}$ da $\sqrt{5 - x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $4$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 - (x + h)}$ come ${(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [{(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ e $g (h) = 5 - (x + h)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 - (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [5 - (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [5 - (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [5 - (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - (x + h)$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- (x + h)]) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $5$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- (x + h)]) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- (x + h)$ rispetto a $h$ è $- \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.7

Poiché $x$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $x$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.10

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.12.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.12.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.14

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.15

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.16

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.17

$\frac{1}{2}$ e ${(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{{(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.18

$\frac{{(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{{(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.19

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{- 1 \cdot {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.20

Riscrivi $- 1 {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ come $- {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{- {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.21

Sposta ${(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{- 1}{2 {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.22

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- (4 + \sqrt{5 - x})$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- (4 + \sqrt{5 - x})$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Sottrai $\frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}$ da $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6.2.2

Somma $- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{5 - x - h}$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x - h}} \cdot 1$

Passaggio 1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x - h}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{5 - x - h}}$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- \frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{5 - x - h}}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{5 - x - h}}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{5 - x - h}}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 5 - x - h}}$

Passaggio 2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 5 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

Passaggio 2.8

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - x - lim_{h \to 0} h}}$

Passaggio 2.9

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - x + 0}}$

Passaggio 2.9.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.9.2.1

Somma $5 - x$ e $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - x}}$

Passaggio 2.9.2.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5 - x}}$ per $\frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{5 - x}} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x}})$

Passaggio 2.9.2.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5 - x}}$ per $\frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x} \sqrt{5 - x}}$

Passaggio 2.9.2.3.2

Eleva $\sqrt{5 - x}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{1} \sqrt{5 - x}}$

Passaggio 2.9.2.3.3

Eleva $\sqrt{5 - x}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{1} {\sqrt{5 - x}}^{1}}$

Passaggio 2.9.2.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.9.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{2}}$

Passaggio 2.9.2.3.6

Riscrivi ${\sqrt{5 - x}}^{2}$ come $5 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 - x}$ come ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.9.2.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.9.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.9.2.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.9.2.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{1}}$

Passaggio 2.9.2.3.6.5

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{5 - x}$

Passaggio 2.9.2.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{5 - x}}{5 - x}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{5 - x}}{(5 - x) \cdot 2}$

Passaggio 2.9.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $5 - x$ .

$- \frac{\sqrt{5 - x}}{2 (5 - x)}$