Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{(3 {(2 + h)}^{2} + 4) - (3 {(2)}^{2} + 4)}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} (3 {(2 + h)}^{2} + 4) - (3 {(2)}^{2} + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite di $(3 {(2 + h)}^{2} + 4) - (3 {(2)}^{2} + 4)$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{3 {(2 + 0)}^{2} + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{12 + 4 - (3 \cdot 4 + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2.4.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 + 4 - (12 + 4)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2.5

Somma $12$ e $4$ .

$\frac{12 + 4 - 1 \cdot 16}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\frac{12 + 4 - 16}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Somma $12$ e $4$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.4

Sottrai $16$ da $16$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{(3 {(2 + h)}^{2} + 4) - (3 {(2)}^{2} + 4)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(3 {(2 + h)}^{2} + 4) - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(3 {(2 + h)}^{2} + 4) - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi ${(2 + h)}^{2}$ come $(2 + h) (2 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 ((2 + h) (2 + h)) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Espandi $(2 + h) (2 + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (2 (2 + h) + h (2 + h)) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h)) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.1.3

Moltiplica $h$ per $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 2 h + 2 h + h^{2}) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.2

Somma $2 h$ e $2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2}) + 4 - (3 {(2)}^{2} + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2}) + 4 - (3 \cdot 4 + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2}) + 4 - (12 + 4)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $12$ e $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2}) + 4 - 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 (4 + 4 h + h^{2}) + 4 - 1 \cdot 16$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8

Calcola $\frac{d}{d h} [3 (4 + 4 h + h^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $3 (4 + 4 h + h^{2})$ rispetto a $h$ è $3 \frac{d}{d h} [4 + 4 h + h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 \frac{d}{d h} [4 + 4 h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + 4 h + h^{2}$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $4$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (0 + \frac{d}{d h} [4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $4 h$ rispetto a $h$ è $4 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (0 + 4 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (0 + 4 \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (0 + 4 + 2 h) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8.8

Somma $0$ e $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h) + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $4$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h) + 0 + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10

Calcola $\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 16]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h) + 0 + \frac{d}{d h} [- 16]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10.2

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h) + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{3 \cdot 4 + 3 (2 h) + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.11.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.11.2.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 3 (2 h) + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.11.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 6 h + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.11.2.3

Somma $12 + 6 h$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 6 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.11.2.4

Somma $12 + 6 h$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 6 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.11.3

Riordina i termini.

$lim_{h \to 0} \frac{6 h + 12}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 h + 12}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $6 h + 12$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} 6 h + 12$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 h + lim_{h \to 0} 12$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$6 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 12$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $12$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$6 lim_{h \to 0} h + 12$

Passaggio 3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$6 \cdot 0 + 12$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $6$ per $0$ .

$0 + 12$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $12$ .

$12$