Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{3}}{h}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $x^{3}$ da $x^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 0}{h}$

Passaggio 1.2

Somma $3 x^{2} h$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 x h^{2} + h^{3} + 3 x^{2} h}{h}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} 3 x h^{2} + h^{3} + 3 x^{2} h}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 3 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 3 x^{2} h}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il termine $3 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{3 x lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 3 x^{2} h}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{3 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 3 x^{2} h}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.4

Sposta l'esponente $3$ da $h^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{3 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 3 x^{2} h}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.5

Sposta il termine $3 x^{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$\frac{3 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 3 x^{2} lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{3 x \cdot 0^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 3 x^{2} lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{3 x \cdot 0^{2} + 0^{3} + 3 x^{2} lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.6.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{3 x \cdot 0^{2} + 0^{3} + 3 x^{2} \cdot 0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{3 x \cdot 0 + 0^{3} + 3 x^{2} \cdot 0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.7.1.2

Moltiplica $3 x \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.2.1

Moltiplica $0$ per $3$ .

$\frac{0 x + 0^{3} + 3 x^{2} \cdot 0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.7.1.2.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$\frac{0 + 0^{3} + 3 x^{2} \cdot 0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 + 0 + 3 x^{2} \cdot 0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.7.1.4

Moltiplica $3 x^{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.4.1

Moltiplica $0$ per $3$ .

$\frac{0 + 0 + 0 x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.7.1.4.2

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.2.7.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{3 x h^{2} + h^{3} + 3 x^{2} h}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 x h^{2} + h^{3} + 3 x^{2} h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 x h^{2} + h^{3} + 3 x^{2} h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x h^{2} + h^{3} + 3 x^{2} h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [3 x h^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{3}] + \frac{d}{d h} [3 x^{2} h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [3 x h^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{3}] + \frac{d}{d h} [3 x^{2} h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d h} [3 x h^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Poiché $3 x$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $3 x h^{2}$ rispetto a $h$ è $3 x \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 x \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{3}] + \frac{d}{d h} [3 x^{2} h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 x (2 h) + \frac{d}{d h} [h^{3}] + \frac{d}{d h} [3 x^{2} h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 x h + \frac{d}{d h} [h^{3}] + \frac{d}{d h} [3 x^{2} h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 x h + 3 h^{2} + \frac{d}{d h} [3 x^{2} h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.5

Calcola $\frac{d}{d h} [3 x^{2} h]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $3 x^{2} h$ rispetto a $h$ è $3 x^{2} \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 x h + 3 h^{2} + 3 x^{2} \frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 x h + 3 h^{2} + 3 x^{2} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 x h + 3 h^{2} + 3 x^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 3 x^{2} + 6 h x}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 3 x^{2} + 6 h x}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $3 h^{2} + 3 x^{2} + 6 h x$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 3 x^{2} + 6 h x$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 h x$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 h x$

Passaggio 3.3

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 h x$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $3 x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 h x$

Passaggio 3.5

Sposta il termine $6 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$3 \cdot 0^{2} + 3 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$3 \cdot 0^{2} + 3 x^{2} + 6 x \cdot 0$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0 + 3 x^{2} + 6 x \cdot 0$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 + 3 x^{2} + 6 x \cdot 0$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $6 x \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Moltiplica $0$ per $6$ .

$0 + 3 x^{2} + 0 x$

Passaggio 5.1.3.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$0 + 3 x^{2} + 0$

Passaggio 5.2

Combina i termini opposti in $0 + 3 x^{2} + 0$ .

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Passaggio 5.2.1

Somma $0$ e $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 5.2.2

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$