Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2}}{h + 4 h^{2}}$

Passaggio 1

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$7 lim_{h \to 0} \frac{h^{2}}{h + 4 h^{2}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$7 \frac{lim_{h \to 0} h^{2}}{lim_{h \to 0} h + 4 h^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$7 \frac{{(lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} h + 4 h^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$7 \frac{0^{2}}{lim_{h \to 0} h + 4 h^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$7 \frac{0}{lim_{h \to 0} h + 4 h^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$7 \frac{0}{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 h^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$7 \frac{0}{lim_{h \to 0} h + 4 lim_{h \to 0} h^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$7 \frac{0}{lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.4.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$7 \frac{0}{0 + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$7 \frac{0}{0 + 4 \cdot 0^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$7 \frac{0}{0 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 2.1.3.5.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$7 \frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 2.1.3.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$7 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$7 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$7 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$7 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{h^{2}}{h + 4 h^{2}} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h + 4 h^{2}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$7 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2}]}{\frac{d}{d h} [h + 4 h^{2}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 lim_{h \to 0} \frac{2 h}{\frac{d}{d h} [h + 4 h^{2}]}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $h + 4 h^{2}$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [4 h^{2}]$ .

$7 lim_{h \to 0} \frac{2 h}{\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [4 h^{2}]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 lim_{h \to 0} \frac{2 h}{1 + \frac{d}{d h} [4 h^{2}]}$

Passaggio 2.3.5

Calcola $\frac{d}{d h} [4 h^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $4 h^{2}$ rispetto a $h$ è $4 \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$7 lim_{h \to 0} \frac{2 h}{1 + 4 \frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Passaggio 2.3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 lim_{h \to 0} \frac{2 h}{1 + 4 \cdot 2 h}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$7 lim_{h \to 0} \frac{2 h}{1 + 8 h}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$7 lim_{h \to 0} \frac{2 h}{8 h + 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$7 \cdot 2 lim_{h \to 0} \frac{h}{8 h + 1}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$7 \cdot 2 \frac{lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} 8 h + 1}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$7 \cdot 2 \frac{lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} 8 h + lim_{h \to 0} 1}$

Passaggio 3.4

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$7 \cdot 2 \frac{lim_{h \to 0} h}{8 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Passaggio 3.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$7 \cdot 2 \frac{lim_{h \to 0} h}{8 lim_{h \to 0} h + 1}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$7 \cdot 2 \frac{0}{8 lim_{h \to 0} h + 1}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$7 \cdot 2 \frac{0}{8 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$14 \frac{0}{8 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$14 \frac{0}{0 + 1}$

Passaggio 5.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$14 (\frac{0}{1})$

Passaggio 5.3

Dividi $0$ per $1$ .

$14 \cdot 0$

Passaggio 5.4

Moltiplica $14$ per $0$ .

$0$