Calcolo Esempi

$lim_{n \to 1000000} {(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$ come $e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$ .

$lim_{n \to 1000000} e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})$ spostando $\frac{1}{2 n + 1}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{n \to 1000000} e^{\frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

Passaggio 2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $n$ tende a $1000000$ .

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $n$ tende a $1000000$ .

$e^{\frac{lim_{n \to 1000000} 1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $1000000$ .

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $1000000$ .

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $n$ .

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Passaggio 2.8

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + n)}$

Passaggio 2.9

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Passaggio 2.10

Sposta l'esponente $2$ da $n^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $1000000$ per tutte le occorrenze di $n$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $n$ inserendo $1000000$ per $n$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $n$ inserendo $1000000$ per $n$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $n$ inserendo $1000000$ per $n$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

Passaggio 4.1.2

Somma $2000000$ e $1$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

Passaggio 4.2

Eleva $1000000$ alla potenza di $2$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000000000 + 1000000)}$

Passaggio 4.3

Somma $1000000000000$ e $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000001000000)}$

Passaggio 4.4

$\frac{1}{2000001}$ e $\ln (1000001000000)$ .

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

Forma decimale:

$1.00001381 \dots$