Calcolo Esempi

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k + 1}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina il fattore comune di ${(k + 1)}^{k + 1}$ e $k + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $k + 1$ da ${(k + 1)}^{k + 1}$ .

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Scomponi $k + 1$ da $(k + 1) i$ .

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) (i)} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 1.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $k$ tende a $8$ .

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 1.3

Sposta il termine $\frac{1}{i}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $k$ .

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} {(k + 1)}^{k} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(k + 1)}^{k}$ come $e^{\ln ({(k + 1)}^{k})}$ .

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{\ln ({(k + 1)}^{k})} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln ({(k + 1)}^{k})$ spostando $k$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $k$ tende a $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 3.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $k$ tende a $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + lim_{k \to 8} 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 3.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $k$ tende a $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Passaggio 3.6

Sposta il termine $i$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $k$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i lim_{k \to 8} \frac{k}{k^{k}}$

Passaggio 3.7

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $k$ tende a $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} k^{k}}$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $k^{k}$ come $e^{\ln (k^{k})}$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{\ln (k^{k})}}$

Passaggio 4.2

Espandi $\ln (k^{k})$ spostando $k$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{k \ln (k)}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \ln (k)}}$

Passaggio 5.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $k$ tende a $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k)}}$

Passaggio 5.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $k$ .

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Passaggio 6.1