Calcolo Esempi

$lim_{n \to 8} \frac{1}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $n$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Passaggio 2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $8$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Passaggio 3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}}$

Passaggio 3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}}$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ come $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}}$

Passaggio 4.2

Espandi $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ spostando $n$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Passaggio 5.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $n$ tende a $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Passaggio 5.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}}$

Passaggio 5.4

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $n$ tende a $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Passaggio 5.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Passaggio 5.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $n$ .

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Passaggio 6.1

Calcola il limite di $n$ inserendo $8$ per $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $n$ inserendo $8$ per $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Passaggio 6.3

Calcola il limite di $n$ inserendo $8$ per $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Somma $8$ e $1$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{9}{8})}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.2.1

Semplifica $8 \cdot \ln (\frac{9}{8})$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{e^{\ln ({(\frac{9}{8})}^{8})}}$

Passaggio 7.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{{(\frac{9}{8})}^{8}}$

Passaggio 7.2.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{9^{8}}{8^{8}}}$

Passaggio 7.2.4

Eleva $9$ alla potenza di $8$ .

$\frac{1}{\frac{43046721}{8^{8}}}$

Passaggio 7.2.5

Eleva $8$ alla potenza di $8$ .

$\frac{1}{\frac{43046721}{16777216}}$

Passaggio 7.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 (\frac{16777216}{43046721})$

Passaggio 7.4

Moltiplica $\frac{16777216}{43046721}$ per $1$ .

$\frac{16777216}{43046721}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{16777216}{43046721}$

Forma decimale:

$0.38974434 \dots$