Calcolo Esempi

$lim_{n \to 8} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $n$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 6

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 8

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 9

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 10

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $n$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

Passaggio 11

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Passaggio 12

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Passaggio 13

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Passaggio 14

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola il limite di $n$ inserendo $8$ per $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Passaggio 14.2

Calcola il limite di $n$ inserendo $8$ per $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Passaggio 14.3

Calcola il limite di $n$ inserendo $8$ per $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

Passaggio 14.4

Calcola il limite di $n$ inserendo $8$ per $n$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Passaggio 15

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.1.1

Somma $8$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Passaggio 15.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Passaggio 15.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3 - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Passaggio 15.1.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 15.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{3 - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Passaggio 15.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Passaggio 15.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Passaggio 15.1.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 15.2.1

Somma $8$ e $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{8 + 1}}$

Passaggio 15.2.2

Somma $8$ e $1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{9}}$

Passaggio 15.2.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 15.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 1 \cdot 3}$

Passaggio 15.2.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$

Passaggio 15.3

Moltiplica $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ per $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$

Passaggio 15.4

Moltiplica $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ per $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ .

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3) (\sqrt{10} + 3)}$

Passaggio 15.5

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{{\sqrt{10}}^{2} + \sqrt{10} \cdot 3 - 3 \sqrt{10} - 9}$

Passaggio 15.6

Semplifica.

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{1}$

Passaggio 15.7

Dividi $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ per $1$ .

$(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$

Passaggio 15.8

Espandi $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 15.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (\sqrt{10} + 3) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

Passaggio 15.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

Passaggio 15.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Passaggio 15.9

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.9.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Passaggio 15.9.2

Moltiplica $- 2 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

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Passaggio 15.9.2.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{10 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Passaggio 15.9.2.2

Moltiplica $10$ per $2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Passaggio 15.9.3

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 15.9.3.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Passaggio 15.9.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Passaggio 15.9.4

Estrai i termini dal radicale.

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Passaggio 15.9.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

Passaggio 15.9.6

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

Forma decimale:

$1.05727969 \dots$