Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{\ln (2 + 3 e^{x})}$

Passaggio 1

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln (2 + 3 e^{x})}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$6 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} \ln (2 + 3 e^{x})}$

Passaggio 2.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$6 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (2 + 3 e^{x})}$

Passaggio 2.1.3

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$6 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$6 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln (2 + 3 e^{x})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (2 + 3 e^{x})]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 + 3 e^{x}$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 + 3 e^{x}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

Passaggio 2.3.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 + 3 e^{x}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [2 + 3 e^{x}]}$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + 3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}])}$

Passaggio 2.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}])}$

Passaggio 2.3.6

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

Passaggio 2.3.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 + 3 e^{x}} \cdot 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.8

$3$ e $\frac{1}{2 + 3 e^{x}}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3}{2 + 3 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.9

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3}{2 + 3 e^{x}} e^{x}}$

Passaggio 2.3.10

$\frac{3}{2 + 3 e^{x}}$ e $e^{x}$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 e^{x}}{2 + 3 e^{x}}}$

Passaggio 2.3.11

Riordina i termini.

$6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 e^{x}}{3 e^{x} + 2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$6 lim_{x \to \infty} 1 \frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$ per $1$ .

$6 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{3 e^{x}}$

Passaggio 3

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{e^{x}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} + 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 4.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $3$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 4.1.2.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $3$ rimosso.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 4.1.2.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty + 2}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 4.1.2.4

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 4.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$6 (\frac{1}{3}) \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 2}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 e^{x} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 4.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 4.3.5

Somma $3 e^{x}$ e $0$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 4.3.6

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x}}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x}}$

Passaggio 4.4.2

Dividi $3$ per $1$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to \infty} 3$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$6 (\frac{1}{3}) \cdot 3$

Passaggio 5.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6$