Calcolo Esempi

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

Passaggio 1.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

Passaggio 1.1.3

Con $n$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Passaggio 1.3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{n}$ come $n^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1}}$

Passaggio 1.3.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.3.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 1.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 1.3.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Passaggio 1.3.8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{- 1}{2}}}$

Passaggio 1.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3.10

Semplifica.

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Passaggio 1.3.10.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.3.10.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 n^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{n \to \infty} 1 (2 n^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.5

Riscrivi $n^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{n}$ .

$lim_{n \to \infty} 1 (2 \sqrt{n})$

Passaggio 1.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{n \to \infty} 2 \sqrt{n}$

Passaggio 2

Poiché la funzione $\sqrt{n}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $2$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 2.1

Considera il limite con il multiplo costante $2$ rimosso.

$lim_{n \to \infty} \sqrt{n}$

Passaggio 2.2

Con $n$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\infty$