Calcolo Esempi

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 21 x + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 21 x + lim_{x \to 3} 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 21 x + lim_{x \to 3} 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 21 x + lim_{x \to 3} 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 4

Sposta il termine $21$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 21 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $45$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 21 lim_{x \to 3} x + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 21 lim_{x \to 3} x + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{3} + 3^{2} - 21 lim_{x \to 3} x + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 6.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{3} + 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27 + 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 7.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{27 + 9 - 21 \cdot 3 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $- 21$ per $3$ .

$\frac{27 + 9 - 63 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 7.1.4

Somma $27$ e $9$ .

$\frac{36 - 63 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 7.1.5

Sottrai $63$ da $36$ .

$\frac{- 27 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 7.1.6

Somma $- 27$ e $45$ .

$\frac{18}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{18}{x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 7.2.1.2

Scomponi $x$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{18}{x \cdot x^{2} + x (6 x) + 9 x}$

Passaggio 7.2.1.3

Scomponi $x$ da $9 x$ .

$\frac{18}{x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9}$

Passaggio 7.2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (6 x)$ .

$\frac{18}{x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9}$

Passaggio 7.2.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9$ .

$\frac{18}{x (x^{2} + 6 x + 9)}$

Passaggio 7.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 7.2.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{18}{x (x^{2} + 6 x + 3^{2})}$

Passaggio 7.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{18}{x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}$

Passaggio 7.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{18}{x {(x + 3)}^{2}}$