Calcolo Esempi

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 5

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $12$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 7

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 7.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27 - 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 8.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{27 - 3 \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$\frac{27 - 27 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{27 - 27 + 12 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 8.1.5

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$\frac{27 - 27 + 12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 8.1.6

Sottrai $27$ da $27$ .

$\frac{0 + 12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 8.1.7

Somma $0$ e $12$ .

$\frac{12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 8.1.8

Sottrai $12$ da $12$ .

$\frac{0}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

Passaggio 8.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.2.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.2.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{0}{(x^{4} - 3 x^{3}) + x - 3}$

Passaggio 8.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{0}{x^{3} (x - 3) + 1 (x - 3)}$

Passaggio 8.2.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 3$ .

$\frac{0}{(x - 3) (x^{3} + 1)}$

Passaggio 8.2.3

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{0}{(x - 3) (x^{3} + 1^{3})}$

Passaggio 8.2.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}$

Passaggio 8.2.5

Semplifica.

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Passaggio 8.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}$

Passaggio 8.2.5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x + 1))}$

$\frac{0}{(x - 3) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Passaggio 8.3

Dividi $0$ per $(x - 3) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$0$