Calcolo Esempi

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - 1}{\ln (x)}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $x^{x}$ come $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{x})} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (x^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Passaggio 3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Passaggio 3.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{e^{1 \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{e^{1 \cdot \ln (1)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica $1 \cdot \ln (1)$ spostando $1$ all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{\ln (1^{1})} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Passaggio 5.1.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1^{1} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Passaggio 5.1.3

Calcola l'esponente.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{\ln (x)}$

Passaggio 5.1.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{\ln (x)}$

Passaggio 5.2

Dividi $0$ per $\ln (x)$ .

$0$