Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} {(1 - \cos (x))}^{x}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(1 - \cos (x))}^{x}$ come $e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0} x \ln (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3

Riscrivi $x \ln (1 - \cos (x))$ come $\frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Passaggio 4

Imposta il limite come un limite sinistro.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Passaggio 5

Risolvi il limite sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{-}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 5.1.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da sinistra, $\ln (1 - \cos (x))$ diminuisce senza limite.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 5.1.1.3

Poiché il numeratore è una costante e il denominatore tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ da sinistra, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a meno infinito.

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

Passaggio 5.1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

Passaggio 5.1.2

Poiché $\frac{- \infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 5.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.1.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.1.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.1.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.1.3.7

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.1.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.1.3.9

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.1.3.10

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.1.3.11

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Passaggio 5.1.3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

Passaggio 5.1.3.13

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Passaggio 5.1.5

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

Passaggio 5.1.6

Riordina i fattori in $- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Passaggio 5.2

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Passaggio 5.3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 5.3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 5.3.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 5.3.1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 5.3.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 5.3.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.5.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 5.3.1.2.5.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 5.3.1.2.5.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 5.3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{-}} x)}}$

Passaggio 5.3.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

Passaggio 5.3.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Passaggio 5.3.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

Passaggio 5.3.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Passaggio 5.3.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{- \frac{0}{0}}$

Passaggio 5.3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{- \frac{0}{0}}$

Passaggio 5.3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{- \frac{0}{0}}$

Passaggio 5.3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Passaggio 5.3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Passaggio 5.3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Passaggio 5.3.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Passaggio 5.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Passaggio 5.3.3.5

Riordina i termini.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Passaggio 5.3.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Passaggio 5.3.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Passaggio 5.3.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.8.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Passaggio 5.3.3.8.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

Passaggio 5.3.3.8.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

Passaggio 5.3.3.8.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

Passaggio 5.3.3.9

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 5.4

Poiché $\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ e $lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ , applica il teorema del confronto.

$e^{- 0}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e^{0}$

Passaggio 6

Imposta il limite come un limite destro.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Passaggio 7

Risolvi il limite destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 7.1.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (1 - \cos (x))$ diminuisce senza limite.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 7.1.1.3

Poiché il numeratore è una costante e il denominatore tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ da destra, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a infinito.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 7.1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 7.1.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 7.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 7.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 7.1.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 7.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 7.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 7.1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 7.1.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 7.1.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 7.1.3.7

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 7.1.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 7.1.3.9

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 7.1.3.10

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 7.1.3.11

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Passaggio 7.1.3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

Passaggio 7.1.3.13

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Passaggio 7.1.5

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

Passaggio 7.1.6

Riordina i fattori in $- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Passaggio 7.2

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Passaggio 7.3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 7.3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 7.3.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 7.3.1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 7.3.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 7.3.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.5.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 7.3.1.2.5.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 7.3.1.2.5.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Passaggio 7.3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 7.3.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Passaggio 7.3.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Passaggio 7.3.1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Passaggio 7.3.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

Passaggio 7.3.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.3.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Passaggio 7.3.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

Passaggio 7.3.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Passaggio 7.3.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{- \frac{0}{0}}$

Passaggio 7.3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{- \frac{0}{0}}$

Passaggio 7.3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{- \frac{0}{0}}$

Passaggio 7.3.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Passaggio 7.3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 7.3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Passaggio 7.3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Passaggio 7.3.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Passaggio 7.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Passaggio 7.3.3.5

Riordina i termini.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Passaggio 7.3.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Passaggio 7.3.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Passaggio 7.3.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 7.3.3.8.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Passaggio 7.3.3.8.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

Passaggio 7.3.3.8.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

Passaggio 7.3.3.8.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

Passaggio 7.3.3.9

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 7.4

Poiché $\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ e $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ , applica il teorema del confronto.

$e^{- 0}$

Passaggio 7.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e^{0}$

Passaggio 8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$