Calcolo Esempi

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $\frac{1}{3}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{1}{3}$ per $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{1}{3}$ per $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $3$ da $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.4

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1 + 2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.7

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.9

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.11.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{\frac{3 - 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.11.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{\frac{0}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.1.12

Dividi $0$ per $3$ .

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3 x$ e $b = 1$ .

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Passaggio 7.3

Dividi $0$ per $(3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$0$