Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} x \tan (\frac{1}{x})$

Passaggio 1

Riscrivi $x \tan (\frac{1}{x})$ come $\frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \tan (\frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 2.1.2.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 2.1.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.5.2

$\sec^{2} (\frac{1}{x})$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.1

Riscrivi $\sec (\frac{1}{x})$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{{(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.5.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.5.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.5.5

Combina.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.5.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.5.7

Riordina i fattori in $- \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 2.3.6

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{- x^{- 2}}$

Passaggio 2.3.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} (- x^{2})$

Passaggio 2.5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} x^{2}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} x^{2}$

Passaggio 2.5.3

$\frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Passaggio 2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Passaggio 2.7

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Passaggio 2.8

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$ come ${(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}$

Passaggio 2.9

Converti da $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ a $\sec (\frac{1}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \sec^{2} (\frac{1}{x})$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

${(lim_{x \to \infty} \sec (\frac{1}{x}))}^{2}$

Passaggio 3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\sec^{2} (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\sec^{2} (0)$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$1^{2}$

Passaggio 5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1$