Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 3 x \cos (3 x)}{2 \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 x + 3 x \cos (3 x)}{\cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 x + 3 x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.7

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 0 + 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.7.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.8.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.8.1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.8.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.8.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.2.8.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.3.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 2.1.3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Passaggio 2.1.3.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2.1.3.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2.1.3.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 2.1.3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.7.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 2.1.3.7.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 2.1.3.7.3

Moltiplica $\sin (3 \cdot 0)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 2.1.3.7.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 2.1.3.7.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.7.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 3 x \cos (3 x)}{\cos (3 x) \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 3 x \cos (3 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + \frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x \cos (3 x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.4.3.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.4.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.4.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.4.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.4.9

Moltiplica $\cos (3 x)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 + 3 x \cdot - 3 \sin (3 x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 - 9 x \sin (3 x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.5.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (3 x)]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (3 x)$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 2.3.7.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 2.3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 2.3.8

Eleva $\cos (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 2.3.9

Eleva $\cos (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 2.3.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 2.3.11

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 2.3.12

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 2.3.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 2.3.14

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 2.3.15

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cdot \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 2.3.16

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.16.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 2.3.16.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 2.3.16.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 2.3.17

Eleva $\sin (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{1} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 2.3.18

Eleva $\sin (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 2.3.19

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - {\sin (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 2.3.20

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 2.3.21

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.22

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.23

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x) \cdot 1}$

Passaggio 2.3.24

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $- 9 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)$ e $3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $3$ da $- 9 x \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot - 3 x \sin (3 x) + 3 + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 2.4.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot - 3 x \sin (3 x) + 3 (1) + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 2.4.3

Scomponi $3$ da $3 (- 3 x \sin (3 x)) + 3 (1)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1) + 3 \cos (3 x)}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 2.4.4

Scomponi $3$ da $3 \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1) + 3 (\cos (3 x))}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 2.4.5

Scomponi $3$ da $3 (- 3 x \sin (3 x) + 1) + 3 (\cos (3 x))$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 \cos^{2} (3 x) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 2.4.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Scomponi $3$ da $3 \cos^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x)) - 3 \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 2.4.6.2

Scomponi $3$ da $- 3 \sin^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 \cdot - 1 \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 2.4.6.3

Scomponi $3$ da $3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 (- \sin^{2} (3 x))$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x))}$

Passaggio 2.4.6.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 (- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x))}{3 (\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x))}$

Passaggio 2.4.6.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x)}{\cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 x \sin (3 x) + 1 + \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.9

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.10

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (3 x) - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.11

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (3 x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (3 x))}^{2} - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.12

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.13

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.14

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (3 x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sin (3 x))}^{2}}$

Passaggio 3.15

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Passaggio 3.16

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 lim_{x \to 0} x) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 4.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 4.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 5.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 0 + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 5.1.5

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 + \cos (0)}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 5.1.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 + 1}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 5.1.7

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 1}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 5.1.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\cos^{2} (3 \cdot 0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 5.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1^{2} - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 5.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - \sin^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - \sin^{2} (0)}$

Passaggio 5.2.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - 0^{2}}$

Passaggio 5.2.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - 0}$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 + 0}$

Passaggio 5.2.8

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Passaggio 5.3

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1$