Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Sposta l'esponente $3$ da ${(x - 1)}^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{{(x - 1)}^{3}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}$

Passaggio 1.3.7

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1}$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (3 {(x - 1)}^{2})}$

Passaggio 2

Poiché il numeratore è positivo e il denominatore $x (3 {(x - 1)}^{2})$ tende a zero ed è maggiore di zero per $x$ vicino a $1$ in entrambi i lati, la funzione aumenta senza limite.

$\infty$