Calcolo Esempi

$lim_{x \to π} \frac{\tan^{2} (x)}{1 + \sec (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\tan^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to π} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{\tan^{2} (π)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{{(- \tan (0))}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{{(- 0)}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} 1 + lim_{x \to π} \sec (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $π$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to π} \sec (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{0}{1 + \sec (lim_{x \to π} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{0}{1 + \sec (π)}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{0}{1 - \sec (0)}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to π} \frac{\tan^{2} (x)}{1 + \sec (x)} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Riordina i fattori di $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sec (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Passaggio 1.3.7

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{0 + \sec (x) \tan (x)}$

Passaggio 1.3.8

Somma $0$ e $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x) \tan (x)}$

Passaggio 1.4

Riduci.

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (x)$ e $\sec (x)$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $\sec (x)$ da $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \tan (x)}$

Passaggio 1.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) (\tan (x))}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \tan (x)}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $\tan (x)$ .

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Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Passaggio 1.4.2.2

Dividi $2 \sec (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to π} 2 \sec (x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to π} \sec (x)$

Passaggio 2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$2 \sec (lim_{x \to π} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$2 \sec (π)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$2 (- \sec (0))$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \cdot - 1$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2$