Calcolo Esempi

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} - 1}{x - π}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to π} e^{\sin (x)} - 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} e^{\sin (x)} - lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to π} \sin (x)} - lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{e^{\sin (lim_{x \to π} x)} - lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $π$ .

$\frac{e^{\sin (lim_{x \to π} x)} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{e^{\sin (π)} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{e^{\sin (0)} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $x$ tende a $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{0}{π - π}$

Passaggio 1.1.3.3

Sottrai $π$ da $π$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} - 1}{x - π} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{\sin (x)} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 1.3.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $e^{\sin (x)} \cos (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x)}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{e^{\sin (x)} \cos (x)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $e^{\sin (x)} \cos (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to π} e^{\sin (x)} \cos (x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $π$ .

$lim_{x \to π} e^{\sin (x)} \cdot lim_{x \to π} \cos (x)$

Passaggio 2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to π} \sin (x)} \cdot lim_{x \to π} \cos (x)$

Passaggio 2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{\sin (lim_{x \to π} x)} \cdot lim_{x \to π} \cos (x)$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{\sin (lim_{x \to π} x)} \cdot \cos (lim_{x \to π} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $π$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$e^{\sin (π)} \cdot \cos (lim_{x \to π} x)$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$e^{\sin (π)} \cdot \cos (π)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$e^{\sin (0)} \cdot \cos (π)$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{0} \cdot \cos (π)$

Passaggio 4.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 \cdot \cos (π)$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\cos (π)$ per $1$ .

$\cos (π)$

Passaggio 4.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (0)$

Passaggio 4.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$