Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} x^{\tan (x)}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{\tan (x)}$ come $e^{\ln (x^{\tan (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln (x^{\tan (x)})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (x^{\tan (x)})$ spostando $\tan (x)$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\tan (x) \ln (x)}$

Passaggio 2

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\tan (x) \ln (x)}$

Passaggio 3

Calcola i limiti inserendo il valore al posto della variabile.

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $e^{\tan (x) \ln (x)}$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\tan (0) \ln (0)}$

Passaggio 3.2

Poiché $e^{\tan (0) \ln (0)}$ è indefinito, il limite non esiste.

$Non esiste$

Passaggio 4

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\tan (x) \ln (x)}$

Passaggio 5

Risolvi il limite destro.

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Passaggio 5.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (x)}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\tan (x) \ln (x)$ come $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}}$

Passaggio 5.3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Passaggio 5.3.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (x)$ diminuisce senza limite.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Passaggio 5.3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 5.3.1.3.1

Applica le identità trigonometriche.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}}$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}}$

Passaggio 5.3.1.3.2

Per i valori $x$ tendenti a $0$ da destra, i valori della funzione aumentano senza limite.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 5.3.1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 5.3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 5.3.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Passaggio 5.3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 5.3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Passaggio 5.3.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Passaggio 5.3.3.3

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}}$

Passaggio 5.3.3.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Passaggio 5.3.3.5

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Passaggio 5.3.3.6

Semplifica.

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Passaggio 5.3.3.6.1

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Passaggio 5.3.3.7

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.12

Somma $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.13

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.14

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.15

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.17

Somma $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.18

Semplifica.

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Passaggio 5.3.3.18.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.3.18.1.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.18.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.18.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.18.1.4

Applica l'identità pitagorica.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.18.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.3.18.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.3.5

$\frac{1}{x}$ e $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}}$

Passaggio 5.4

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x}}$

Passaggio 5.5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 5.5.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 5.5.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{- \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 5.5.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 5.5.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.3.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 5.5.1.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 5.5.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Passaggio 5.5.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{- \frac{0}{0}}$

Passaggio 5.5.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 5.5.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 5.5.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 5.5.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 5.5.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 5.5.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.1

Riordina i fattori di $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 5.5.3.4.2

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 5.5.3.4.3

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 5.5.3.4.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 5.5.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{1}}$

Passaggio 5.5.4

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Passaggio 5.6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{- \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}$

Passaggio 5.6.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Passaggio 5.7

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- \sin (2 \cdot 0)}$

Passaggio 5.8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$e^{- \sin (0)}$

Passaggio 5.8.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- 0}$

Passaggio 5.8.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e^{0}$

Passaggio 5.8.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$

Passaggio 6

Se uno dei due limiti unilateri non esiste, il limite non esiste.

$Non esiste$