Calcolo Esempi

$lim_{y \to π} \frac{1 + \cos (y)}{y - π}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{y \to π} 1 + \cos (y)}{lim_{y \to π} y - π}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $y$ tende a $π$ .

$\frac{lim_{y \to π} 1 + lim_{y \to π} \cos (y)}{lim_{y \to π} y - π}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $y$ tende a $π$ .

$\frac{1 + lim_{y \to π} \cos (y)}{lim_{y \to π} y - π}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1 + \cos (lim_{y \to π} y)}{lim_{y \to π} y - π}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $y$ inserendo $π$ per $y$ .

$\frac{1 + \cos (π)}{lim_{y \to π} y - π}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{y \to π} y - π}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{y \to π} y - π}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{y \to π} y - π}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to π} y - π}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $y$ tende a $π$ .

$\frac{0}{lim_{y \to π} y - lim_{y \to π} π}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $y$ tende a $π$ .

$\frac{0}{lim_{y \to π} y - π}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $y$ inserendo $π$ per $y$ .

$\frac{0}{π - π}$

Passaggio 1.1.3.3

Sottrai $π$ da $π$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{y \to π} \frac{1 + \cos (y)}{y - π} = lim_{y \to π} \frac{\frac{d}{d y} [1 + \cos (y)]}{\frac{d}{d y} [y - π]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{y \to π} \frac{\frac{d}{d y} [1 + \cos (y)]}{\frac{d}{d y} [y - π]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (y)]$ .

$lim_{y \to π} \frac{\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (y)]}{\frac{d}{d y} [y - π]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$lim_{y \to π} \frac{0 + \frac{d}{d y} [\cos (y)]}{\frac{d}{d y} [y - π]}$

Passaggio 1.3.4

La derivata di $\cos (y)$ rispetto a $y$ è $- \sin (y)$ .

$lim_{y \to π} \frac{0 - \sin (y)}{\frac{d}{d y} [y - π]}$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $\sin (y)$ da $0$ .

$lim_{y \to π} \frac{- \sin (y)}{\frac{d}{d y} [y - π]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - π$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- π]$ .

$lim_{y \to π} \frac{- \sin (y)}{\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- π]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{y \to π} \frac{- \sin (y)}{1 + \frac{d}{d y} [- π]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- π$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- π$ rispetto a $y$ è $0$ .

$lim_{y \to π} \frac{- \sin (y)}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{y \to π} \frac{- \sin (y)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $- \sin (y)$ per $1$ .

$lim_{y \to π} - \sin (y)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $y$ .

$- lim_{y \to π} \sin (y)$

Passaggio 2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \sin (lim_{y \to π} y)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $y$ inserendo $π$ per $y$ .

$- \sin (π)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \sin (0)$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$